有限数学示例

$\ln^{2} (x) - \ln (x) - 2 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \ln (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\ln (x)$ 。

$u^{2} - u - 2 = 0$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $u^{2} - u - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 2) (u + 1) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\ln (x) - 2 = 0$

$\ln (x) + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $\ln (x) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (x) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$\ln (x) - 2 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\ln (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\ln (x) = 2$

解题步骤 3.2.2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

解题步骤 3.2.3

使用对数的定义将 $\ln (x) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2} = x$

解题步骤 3.2.4

将方程重写为 $x = e^{2}$ 。

$x = e^{2}$

解题步骤 4

将 $\ln (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\ln (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\ln (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\ln (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\ln (x) = - 1$

解题步骤 4.2.2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

解题步骤 4.2.3

使用对数的定义将 $\ln (x) = - 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 1} = x$

解题步骤 4.2.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

将方程重写为 $x = e^{- 1}$ 。

$x = e^{- 1}$

解题步骤 4.2.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{e}$

解题步骤 5

最终解为使 $(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

小数形式：

$x = 7.38905609 \dots, 0.36787944 \dots$

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